Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Đặt P O M ^ ; O M = R 0 ≤ α ≤ π 3 ; R > 0 Gọi V là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó quanh trục Ox (H.63).
Tính thể tích của V theo α và R
Ta có: OP = OM.cosα = R. cosα
Phương trình đường thẳng OM đi qua O nên có dạng: y = k.x
OM tạo với trục hoành Ox 1 góc
⇒ Hệ số góc k = tanα
⇒ OM: y = x.tanα
Vậy khối tròn xoay được tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = x.tanα; y = 0; x = 0; x = R.cosα quay quanh trục Ox
Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Đặt P O M ^ ; O M = R 0 ≤ α ≤ π 3 ; R > 0 Gọi V là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó quanh trục Ox (H.63).
Tìm α sao cho thể tích V lớn nhất
* Ta tìm giá trị lớn nhất của P = cosα – cos3α
Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox, cạnh huyền OM không đổi, O M = R ( R>0 ). Tính theo R giá trị lớn nhất của thể tích khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh trục Ox.
A. 2 3 π R 3 27
B. 2 3 π R 3 9
C. 2 2 π R 3 27
D. 2 2 π R 3 9
Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox, cạnh huyền OM không đổi, O M = R R > 0 . Tính theo R giá trị lớn nhất của thể tích khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh trục Ox.
A. 2 3 πR 3 27
B. 2 3 πR 3 9
C. 2 2 πR 3 27
D. 2 2 πR 3 9
Đáp án A.
Tam giác OPM vuông tại P suy ra O P = R . cos α ; M P = R . sin α .
Thể tích khối nón được tính bằng công thức
V = 1 3 . O P . πMP 2 = 1 3 . R . cosα . π . R 2 . sin 2 α = πR 3 3 . cosα . sin 2 α = πR 3 3 . cosα 1 - cos 2 α
V đạt giá trị lớn nhất khi - cos 3 α + cos α đạt giá trị lớn nhất.
Sử dụng TABLE ta có
Ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất là 0 , 384 = 2 3 9 . Suy ra V = 2 3 πR 3 27 .
Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Đặt \(\widehat{POM}=\alpha;OM=R\left(0\le\alpha\le\dfrac{\pi}{3};R>0\right)\)
Gọi V là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh trục Ox (H.63)
a) Tính thể tích của V theo \(\alpha\) và R
b) Tìm \(\alpha\) sao cho thể tích của V lớn nhất
a) Hoành độ điểm P là :
xp = OP = OM. cos α = R.cosα
Phương trình đường thẳng OM là y = tanα.x. Thể tích V của khối tròn xoay là:
b) Đặt t = cosα => t ∈ 
. (vì α ∈ 
), α = arccos t.
Ta có :
V' = 0 ⇔
hoặc 
(loại).
Từ đó suy ra V(t) lớn nhất ⇔ , khi đó : 
.
Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thay đổi trên nửa đường tròn đó, đặt α = C A B ^ và gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB. Tìm α sao cho thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn nhất
A. α = 60 °
B. α = 45 °
C. a r c tan 1 2
D. α = 30 °
Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thay đổi trên nửa đường tròn đó, đặt α = C A B ⏞ và gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB . Tìm α sao cho thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn nhất.
Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thay đổi trên nửa đường tròn đó, đặt α = C A B ^ và gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB. Tìm α sao cho thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn nhất
A. α = 60 0
B. α = 45 0
C. α = a r c tan 1 2
D. α = 30 0
Cho nửa đường tròn đường kính AB=2R và điểm C thay đổi trên nửa đường tròn đó, đặt C A B ^ = α và gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB. Tìm α sao cho thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn nhất.
A. α= 45 độ
B. α = a r c tan 1 2
C. α=30 độ
D. α=60 độ
Cho nửa đường tròn đường kính AB=2R và điểm C thay đổi trên nửa đường tròn đó, đặt α = C A B ^ và gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB. Tìm α sao cho thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn nhất.
